积分上下限含函数表达式的积分变限函数求导问题

1. 积分上下限含函数表达式的积分变限函数求导问题

let 
F'(x) = f(x)
∫(g(x),c) f(y) dy = F(g(x)) - F(c),          上限=g(x) , 下限是常数(c)

d/dx{∫(g(x),c) f(y) dx} = g'(x)F'(g(x)) = g'(x)f(g(x))
下限是常数，可以直接求导

积分下限是函数表达式时, 变化为第一种形式

∫(c,g(x)) f(y) dy = F(c) - F(g(x)),          上限是常数(c)) , 下限是g(x)
d/dx{∫(c,g(x)) f(y) dx} = -g'(x)F'(x) = -g'(x)f(g(x))

2. 变下限积分求导怎么求

∫√（x^2-1）dx令x=sect 则 ∫√（x^2-1）dx=∫tantdsect=∫tan^2tsectdt=∫(sec^2t-1)sectdt=∫(sec^3t-sect)dt=tant*sect-∫sec^3tdt即∫(sec^3t-sect)dt=tant*sect-∫sec^3tdt2∫(sec^3t)dt=tant*sect+∫sectdt∫sec^3tdt=1/2tant*sect+1/2ln|sect+tant|+c所以 ∫√（x^2-1）dx=tant*sect-∫sec^3tdt=1/2tant*sect-1/2ln|sect+tant|+c=1/2x√（x^2-1）-1/2ln|x+√（x^2-1）|+c

3. 积分上下限变限积分如何求导

积分变上限函数和积分变下限函数统称积分变限函数，一般进行计算求导的时候都转换为变上限积分求导。
总结：对于变限积分求导，通常将其转换为变上限积分求导，求导时，将上限的变量代入到被积函数中去，再对变量求导即可。

扩展资料
求导依据：
如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，则积分变上限函数在[a,b]上具有导数：
1、下限为常数，上限为函数类型：
对于这种类型只需将上限函数带入到积分的原函数中去，再对上限函数进行求导。对下面的函数进行求导，只需将“X”替换为“t”再进求导即可。
2、下限为函数，上限为常数类型：
基本类型如下图，需要添加“负号”将下限的函数转换到上限，再按第一种类型进行求导即可。题例如下，添加“负号”转换为变上限积分函数求导即可。
3、上下限均为函数类型：
这种情况需要将其分为两个定积分来求导，因为原函数是连续可导的，所以首先通过“0”将区间[h(x),g(x)]分为[h(x),0]和[0,g(x)]两个区间来进行求导。然后将后面的变下限积分求导转换为变上限积分求导。
接着对两个区间的变上限积分分别求导即可得到下面公式。对于这种题，可以直接套公式，也可以自己推导。

4. 变下限积分怎么求导？

F(x) = ∫(a,x) xf(t) dtF(x) = x∫(a,x) f(t) dtF'(x) = ∫(a,x) f(t) dt + x * [x' * f(x) - a' * f(a)]= (1/x)F(x) + x * [1 * f(x) - 0 * f(a)],下限a的导数是0,所以整体都会变为0= (1/x)F(x) + xf(x)
拓展资料：变上限积分，是指变上限积分的求导及拓展的微积分基本定理之一。若(a,b)间是一个函数g(x)时，积分形式是∫ag(x)f(t)dt =∫ f(g(x))g’(x)dx。
变上限积分 是微积分基本定理之一，通过它可以得到“牛顿——莱布尼茨”定理，它是连接不定积分和定积分的桥梁，通过它把求定积分转化为求原函数，这样就使数学家从求定积分的和式极限中解放出来了，从而可以通过原函数来得到积分的值！
定理：连续函数f(x)在[a,b]有界，x属于(a,b)，取βX足够小，使x+βX属于(a,b)，则存在函数F(x)=∫(0,x)f(t)dt, 使F(x)的导数为f(x);
参考链接：百度百科-变上限积分

5. 变上限积分函数可以直接这样求导吗？为什么

6. 变上限积分求导？

令x-t=u，
则dt= -du，
故∫(0到x)f(x-t)dt =  -∫(x到0)f(u)du =∫(0到x)f(u)du，
于是
x∫(0到x)f(x-t)dt = x ∫(0到x)f(u)du，
所以
d [x∫(0到x)f(x-t)dt] /dx
= d [ x ∫(0到x)f(u)du ] / dx
= x * d [ ∫(0到x)f(u)du ] / dx + dx/dx * ∫(0到x)f(u)du

注意在这里，变上限积分函数∫(0到x)f(u)du 对x求导的话，
求得的导数就是f(x)而不是f(u)，

因此，
d [x∫(0到x)f(x-t)dt] /dx
=x * d [ ∫(0到x)f(u)du ] / dx + dx/dx * ∫(0到x)f(u)du
=x * f(x) + ∫(0到x)f(u)du

不是xf(u)可不可以直接换成xf(x)的问题，
而是对其求导得到的就是xf(x)

7. 变积分上限函数与下限的关系是什么? 变积分上限函数求导时与积分下限有关吗?计算时呢?

下面的例子或许会对你的理解有所帮助：
  设F(x)=∫f(t)dt ...(1)
  1.当方程(1)等号右边的积分下限是常数a上限是常数b时,得：
  (a,b)∫f(t)dt=F(b)-F(a)
  如对上式微分,因F(b)和F(a)都是常数,则得：
  [(a,b)∫f(t)dt]ʹ=[F(b)-F(a)]ʹ=0
  2.当方程(1)等号右边的积分下限是常数a上限是变数x时,得：
  (a,x)∫f(t)dt=F(x)-F(a)
  从上式可知,积分的结果与下限有关.可是因F(x)是x的函数,F(a)是常数,如对上式微分,则得：
  [(a,x)∫f(t)dt]ʹ=Fʹ(x)-Fʹ(a)=f(x)-0=f(x)
  因常数的导数是0,上面的导数就与下限无关了.
  3.当方程(1)等号右边的积分下限是变数x上限也是变数,如x²时,得：
  (x,x²)∫f(t)dt=F(x²)-F(x)
  如对上式微分,因F(x²)和F(x)都是x的函数,则得：
  [(x,x²)∫f(t)dt]ʹ=Fʹ(x²)-Fʹ(x)=2xf(x²)-f(x)
  上面的导数与下限有关.
  因此,对变积分限的函数求导时,如积分下限也是一个变量,则其导数与下限有关.但若积分下限是一个常数,则其导数与下限无关.

8. 变限积分求导公式怎么证明？上下限都是变限